投資リターンの平均値

inatoraの投資日記より。
＃このblogはとても興味深い。

・毎年同じ額を投資するときのリターン
m ：投資額、a ( n ) ：n年目の利益率
m * { a ( 1 ) } + m * { a ( 2 ) } + ... + m * { a ( n ) } = m * { a ( 1 ) + a ( 2 ) + ... + a ( n ) }

r ：平均の利益率とすると
r = m * { a ( 1 ) + a ( 2 ) + ... + a ( n ) } / m / n
r = { a ( 1 ) + a ( 2 ) + ... + a ( n ) } / n
{ a ( 1 ) + a ( 2 ) + ... + a ( n ) } / n は年率リターンの算術平均である。


・利益を併せて投資するときの投資額
m ：初期投資額、a ( n ) ：n年目の利益率、r ：平均の利益率
m * { １+ a ( 1 ) } * { 1 + a ( 2 ) } * ... * { 1 + a ( n ) } = m* ( 1 + r ) ^ n
となるので
r = [ { １+ a ( 1 ) } * { 1 + a ( 2 ) } * ... * { 1 + a ( n ) } ] ^ ( 1 / n ) - 1
[ { １+ a ( 1 ) } * { 1 + a ( 2 ) } * ... * { 1 + a ( n ) } ] ^ ( 1 / n )は幾何平均である。


・算術幾何平均の定理より
[ { １+ a ( 1 ) } + { 1 + a ( 2 ) } + ... + { 1 + a ( n ) } ] / n ≥ [ { １+ a ( 1 ) } * { 1 + a ( 2 ) } * ... * { 1 + a ( n ) } ] ^ ( 1 / n )
よって
{ a ( 1 ) + a ( 2 ) + ... + a ( n ) } / n ≥ [ { １+ a ( 1 ) } * { 1 + a ( 2 ) } * ... * { 1 + a ( n ) } ] ^ ( 1 / n ) - 1
＃a ( 1 ) = a ( 2 ) = ... = a ( n )のとき等号が成立

利益を再投資するときは幾何平均を用いなければならない。幾何平均は算術平均より小さくなる。シャープレシオが誤って算術平均で計算されていることがある。

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登録日：2007年 12月 07日 22:19:02

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